جلسه 4 پاسخ ضربه، انتگرال کانولوشن، تحلیل فوریه، طیف چگالی انرژي و قدرت، مدولاسیون و 8 قضیه نمونهبرداري همراه با مثال و شبیهسازي نرمافزاري

فصل ۱: مبانی پاسخ ضربه و انتگرال کانولوشن

• تیترها:


• تعریف و اهمیت پاسخ ضربه (Impulse Response)


• سیستم‌های خطی تغییرناپذیر با زمان (LTI)


• فرمول انتگرال کانولوشن (Convolution Integral)


• خواص کانولوشن


• ارتباط پاسخ ضربه و کانولوشن در سیستم‌های پیوسته


• مثال:


• محاسبه خروجی یک سیستم RC ساده با استفاده از انتگرال کانولوشن و پاسخ ضربه آن.


• تحلیل پاسخ یک فیلتر پایین‌گذر ایده‌آل.


• خلاصه نکات کلیدی:


• پاسخ ضربه “اثر انگشت” یک سیستم LTI است.


• کانولوشن روشی بنیادی برای یافتن خروجی سیستم LTI با هر ورودی دلخواه است.


• ترتیب کانولوشن مهم نیست (خاصیت جابجایی).


• تمرین پایان فصل:


• سیستم LTI با پاسخ ضربه $h(t) = e^{-at}u(t)$ داده شده است. ورودی $x(t) = \sin(\omega t)u(t)$ است. خروجی $y(t)$ را محاسبه کنید.


• یک سیستم فیلتر بالاگذر مرتبه اول را با استفاده از پاسخ ضربه و کانولوشن تحلیل کنید.

فصل ۲: تحلیل فوریه و کاربردهای آن

• تیترها:


• سری فوریه (Fourier Series) برای سیگنال‌های متناوب


• تبدیل فوریه (Fourier Transform) برای سیگنال‌های غیرمتناوب


• خواص کلیدی تبدیل فوریه (خطی بودن، جابجایی زمانی و فرکانسی، دوگانگی، مشتق‌گیری، انتگرال‌گیری، کانولوشن)


• پاسخ فرکانسی سیستم‌های LTI


• ارتباط تبدیل فوریه با کانولوشن


• مثال:


• محاسبه تبدیل فوریه سیگنال پالس مستطیلی و سیگنال سینوسی.


• تحلیل پاسخ فرکانسی یک فیلتر پایین‌گذر و بالاگذر ایده‌آل.


• خلاصه نکات کلیدی:


• تبدیل فوریه سیگنال را از حوزه زمان به حوزه فرکانس می‌برد.


• پاسخ فرکانسی سیستم ($H(\omega)$) چگونگی تغییر دامنه‌ها و فازهای مؤلفه‌های فرکانسی توسط سیستم را نشان می‌دهد.


• تبدیل فوریه کانولوشن در حوزه زمان را به ضرب در حوزه فرکانس تبدیل می‌کند.


• تمرین پایان فصل:


• تبدیل فوریه سیگنال دندان‌اره‌ای را محاسبه کنید.


• پاسخ فرکانسی یک سیستم با تابع تبدیل $H(s) = \frac{1}{s+a}$ را بیابید و نمودار آن را رسم کنید.

فصل ۳: طیف چگالی انرژی و قدرت (Energy and Power Spectral Density)

• تیترها:


• انرژی و توان سیگنال‌ها (پیوسته و گسسته)


• قضیه پارسوال (Parseval’s Theorem)


• چگالی طیفی انرژی (Energy Spectral Density - ESD)


• چگالی طیفی قدرت (Power Spectral Density - PSD)


• ارتباط ESD و PSD با تبدیل فوریه


• مثال:


• محاسبه انرژی و توان یک سیگنال نمایی میرا شونده.


• یافتن ESD و PSD برای یک سیگنال پالس.


• خلاصه نکات کلیدی:


• ESD نشان می‌دهد که انرژی سیگنال چگونه در فرکانس‌ها توزیع شده است.


• PSD نشان می‌دهد که توان سیگنال چگونه در فرکانس‌ها توزیع شده است.


• قضیه پارسوال بیان می‌کند که انرژی/توان سیگنال را می‌توان هم در حوزه زمان و هم در حوزه فرکانس محاسبه کرد.


• تمرین پایان فصل:


• برای سیگنال $x(t) = e^{-at}u(t)$، ESD آن را محاسبه کنید.


• اگر PSD سیگنالی $S_{xx}(\omega) = \frac{1}{1+\omega^2}$ باشد، توان کل سیگنال چقدر است؟

فصل ۴: مدولاسیون (Modulation)

• تیترها:


• مفهوم و دلایل نیاز به مدولاسیون


• انواع مدولاسیون:


• مدولاسیون دامنه (AM): DSB-SC، DSB-WC، SSB


• مدولاسیون زاویه (FM و PM)


• مدولاسیون‌های دیجیتال (ASK, FSK, PSK) - (اشاره مختصر)


• کاربردها در مخابرات


• مثال:


• نمایش سیگنال مدوله شده AM و FM.


• تفاوت بین DSB-SC و DSB-WC.


• خلاصه نکات کلیدی:


• مدولاسیون سیگنال اطلاعات را روی یک حامل فرکانس بالا منتقل می‌کند.


• مدولاسیون امکان مالتی‌پلکسینگ و افزایش بازدهی انتقال را فراهم می‌کند.


• هر نوع مدولاسیون مزایا و معایب خاص خود را از نظر پهنای باند، پیچیدگی گیرنده و مقاومت در برابر نویز دارد.


• تمرین پایان فصل:


• یک سیگنال پیام $m(t)$ را با استفاده از مدولاسیون AM-DSB-SC مدوله کنید و فرمول سیگنال حامل را بنویسید.


• مزایای FM نسبت به AM را در شرایط وجود نویز توضیح دهید.

فصل ۵: قضیه نمونه‌برداری (Sampling Theorem)

• تیترها:


• تبدیل سیگنال‌های پیوسته به گسسته


• قضیه نمونه‌برداری نایکویست-شانون (Nyquist-Shannon Sampling Theorem)


• فرکانس نایکویست


• پیامد نمونه‌برداری با فرکانس کمتر از حد نایکویست (Aliasing)


• روش‌های بازسازی سیگنال از نمونه‌ها (ایده فیلتر پایین‌گذر ایده‌آل)


• نمونه‌برداری از سیگنال‌های باند محدود (Band-limited signals)


• نمونه‌برداری از سیگنال‌های bandpass


• مثال:


• نمونه‌برداری از یک سیگنال سینوسی با فرکانس‌های مختلف و مشاهده اثر Aliasing.


• تعیین حداقل فرکانس نمونه‌برداری برای سیگنال‌های مشخص.


• شبیه‌سازی نرم‌افزاری:


• با استفاده از نرم‌افزارهایی مانند MATLAB یا Python (با کتابخانه‌های NumPy و SciPy)، پیاده‌سازی مراحل نمونه‌برداری و بازسازی سیگنال.


• نمایش نمودارهای سیگنال اصلی، نمونه‌ها، و سیگنال بازسازی شده.


• نمایش اثر Aliasing زمانی که فرکانس نمونه‌برداری کمتر از حد نایکویست است.


• خلاصه نکات کلیدی:


• برای بازسازی کامل یک سیگنال باند محدود با حداکثر فرکانس $f_{max}$، باید با نرخ حداقل $2f_{max}$ نمونه‌برداری شود.


• Aliasing باعث می‌شود فرکانس‌های بالا به صورت فرکانس‌های پایین در سیگنال گسسته ظاهر شوند و بازسازی صحیح را غیرممکن می‌سازد.


• نمونه‌برداری یک مرحله حیاتی در سیستم‌های پردازش سیگنال دیجیتال (DSP) است.


• تمرین پایان فصل:


• یک سیگنال $x(t) = \cos(2\pi \cdot 1000 t) + \sin(2\pi \cdot 2000 t)$ را در نظر بگیرید. حداقل فرکانس نمونه‌برداری لازم برای جلوگیری از Aliasing چقدر است؟


• فرآیند Aliasing را با رسم شکل توضیح دهید.


• (پروژه کوچک) یک اسکریپت Python بنویسید که یک سیگنال سینوسی با فرکانس $f_0$ تولید کند، آن را با نرخ $f_s$ نمونه‌برداری کند (یک بار با $f_s > 2f_0$ و یک بار با $f_s < 2f_0$) و نتایج را با نمودار نشان دهد.